Уважаемые студенты! Вам предлагается пройти тест по теме "Логика первого порядка". Результаты теста будут показаны после завершения. Время выполнения заданий - 90 минут, всего 16 вопросов. Максимум за тест можно получить 50 первичных баллов. Перевод во вторичные баллы будет осуществлён после прохождения теста всеми студентами. Успехов! Фамилия Имя Группа Адрес электронной почты 1. Равносильные формулы Выберите формулы сигнатуры \( \Sigma=\{\leqslant^{(2)}, +^{(2)}\} \), равносильные формуле \( \forall x\ (\exists y\ (x\leqslant y)\to\urcorner(z\leqslant x))\wedge\urcorner(y=z) \): \( \forall x\ \urcorner(\urcorner(y=z)\to\exists y\ (x\leqslant y)\wedge(z\leqslant y)) \) \( \forall x\ \urcorner (\exists y\ (x\leqslant y)\wedge(z\leqslant x)\wedge(y=z)) \) \( \forall x\exists y\ ((x\leqslant y)\to\urcorner(z\leqslant x))\wedge\urcorner(y=z) \) \( \forall x\ ((\urcorner \exists y\ (x\leqslant y)\vee\urcorner(z\leqslant x))\wedge\urcorner(y=z)) \) \( \forall x\ (\forall y\ \urcorner(x\leqslant y)\vee(z>x))\wedge\urcorner(y=z) \) 2. Термы и формулы Пусть \( \Sigma=\{+^{(2)}, \cdot^{(2)}, -^{(2)}, 0^{(0)}, \leqslant^{(2)}\} \). Выберите все формулы сигнатуры \( \Sigma \): \( x+y\leqslant x\cdot z \) \( \forall x\ (x+y\cdot (z+0)) \) \( \exists z\ (x\leqslant z\cdot z_1) \) \( (x+y) \wedge (x\leqslant z-u) \) \( \urcorner (x+y=z+1) \) \( x\leqslant ((z+y=x)\to\exists y\ (y\leqslant z)) \) 3. Термы и формулы Пусть \( \Sigma=\{+^{(2)}, \cdot^{(2)}, -^{(2)}, 0^{(0)}, \leqslant^{(2)}\} \), \( t(x,y,z)\leftrightharpoons (((x+y)\cdot x)-(y+(z-x)\cdot 0))\cdot z \), \( \mathfrak{A}=\langle \mathbb{Z}; \Sigma \rangle \). Найдите \( t^{\mathfrak{A}}(-4, 3, 5) \): 4. Исчисление предикатов Выберите верные утверждения про определённое на наших занятиях исчисление предикатов (ИП): В ИП есть зависимые аксиомы. Теоремами ИП являются тождественно истинные формулы. ИП противоречиво. Существует алгоритм проверки формул ИП на доказуемость за конечное количество шагов. Теоремами ИП являются только тождественно истинные формулы. ИП неразрешимо. ИП независимо. ИП непротиворечиво. В ИП есть недоказуемые формулы. ИП разрешимо. 5. Алгебраические системы Среди перечисленных символов операций и предикатов выберите символы предикатов: \( \cup \) \( \sqrt[3]{} \) \( \urcorner \) \( 1 \) \( \subseteq \) \( \wedge \) \( \geqslant \) 6. Исчисление предикатов Известно, что \( \vdash\ \forall x\exists z\forall y\ \Phi(x, y, z, u) \), где \( \Phi \) - формула сигнатуры \( \Sigma \). Выберите верные утверждения: \( \vdash\ \exists u\forall x\exists z\forall y\ \Phi(x, y, z, u) \) \( \vdash\ \forall u\exists x\forall y\ \Phi(u, y, x, z) \) \( \vdash\ \forall u\forall x\exists z\forall y\ \Phi(x, y, z, u) \) \( \vdash\ \exists z\forall x\ \Phi(w, x, z, u) \) \( \vdash\ \forall w\exists x\ \urcorner\Phi(u, x, w, v) \) 7. Логическое следствие Пусть \( \Sigma=\{+^{(2)}, \cdot^{(2)}, \leqslant^{(2)}\} \). Выберите верные утверждения: \( x+y=z\cdot x \), \( y\cdot (x+z)=x\cdot x \) \( \vDash \) \( (x+y)\cdot (x\cdot x)=(z\cdot x)\cdot (y\cdot (x+z)) \) \( x\cdot y+z=x\cdot y \), \( z+y=x\cdot z \), \( (x\cdot y+z)\cdot y\leqslant z+y \) \( \vDash \) \( (x\cdot y)\cdot y\leqslant x\cdot z \) \( x\cdot y=z+x \), \( \forall z\ (z+x=x+y\cdot z) \) \( \vDash \) \( \exists y\ (x+y\cdot z=x\cdot y) \) \( x+y=z\ \vDash\ \exists z\ (z=x+y) \) 8. Термы и формулы Пусть \( \Sigma=\{+^{(2)}, \cdot^{(2)}, -^{(2)}, 0^{(0)}, \leqslant^{(2)}\} \). Выберите все термы сигнатуры \( \Sigma \): \( x+y \) \( 0-(x+y)^2 \) \( x-y\leqslant z \) \( x-y\cdot(z+1) \) \( (x+y)\cdot z \) \( x+y\cdot x \) 9. Термы и формулы Пусть \( \Sigma=\{+^{(2)}, \cdot^{(2)}, -^{(2)}, 0^{(0)}, \leqslant^{(2)}\} \), \( \Phi(x,y)\leftrightharpoons \exists z\ ((x+z=y)\wedge\urcorner (z\leqslant0)) \), \( \mathfrak{A}=\langle \mathbb{Z}; \Sigma \rangle \). Выберите верные утверждения: \( \mathfrak{A}\vDash\Phi(3,5) \) \( \mathfrak{A}\vDash\Phi(1, 2, 4) \) \( \mathfrak{A}\vDash\Phi(3,8)\to\Phi(1,0) \) \( \mathfrak{A}\vDash\urcorner\Phi(7,4) \) \( \mathfrak{A}\vDash\Phi(2,-1)\to\Phi(4,2) \) \( \mathfrak{A}\vDash\Phi(-2,0) \) \( \mathfrak{A}\vDash\Phi(-1,-1) \) \( \mathfrak{A}\vDash\Phi(4,2) \) 10. Термы и формулы Пусть \( \Sigma=\{+^{(2)}, \cdot^{(2)}, -^{(2)}, 0^{(0)}, \leqslant^{(2)}\} \). Выберите все атомарные формулы сигнатуры \( \Sigma \): \( x+y^2\leqslant z \) \( \exists x\ (x\leqslant y+z) \) \( x\cdot0=y+z_1 \) \( \urcorner (x+0\leqslant z\cdot y) \) \( x+y\leqslant z-u \) 11. Алгебраические системы Пусть \( \Sigma=\{+^{(2)}, \cdot^{(2)}, -^{(2)}, 0^{(0)}, \leqslant^{(2)}\} \). Выберите числовые множества, которые могут служить носителем алгебраической системы сигнатуры \( \Sigma \) со стандартными интерпретациями символов \( \Sigma \): \( \mathbb{Z} \) \( \mathbb{I} \) \( \mathbb{Q} \) \( \omega \) \( \mathbb{I}\cup\{0\} \) \( 2\mathbb{Z} \) \( \mathbb{N} \) 12. Исчисление предикатов Пусть \( \Gamma=\{\Phi(x),\ \Psi(y),\ \Theta(z)\} \). Выберите верные соотношения: \( \Gamma\ \vdash\ \Phi(u)\wedge\Psi(u)\wedge\Theta(z) \) \( \Gamma\ \vdash\ \Phi(z)\wedge\Psi(y)\wedge\Theta(x) \) \( \Gamma\ \vdash\ \exists x\ (\Phi(x)\vee\Psi(y)\vee\Theta(z)) \) \( \Gamma\ \vdash\ \exists u\ (\Phi(u)\wedge\Psi(u)\wedge\Theta(u)) \) \( \Gamma\ \vdash\ \exists x\ (\Phi(x)\vee\Psi(x)\vee\Theta(x)) \) \( \Gamma\ \vdash\ \exists z\ (\Phi(x)\to\Psi(y)\vee\Theta(z)) \) 13. Исчисление предикатов Пусть \( \{\Phi(x),\ \Psi(x, y),\ \exists y\ \Theta(y)\} \) - непротиворечивое множество формул. Выберите верные утверждения: \( \{\Phi(x),\ \Psi(x, y),\ \Theta(z)\} \) - непротиворечивое множество формул \( \{\Phi(x),\ \Psi(x, y),\ \exists y\ \Theta(y),\ \forall z\ \urcorner\Phi(z)\vee\exists y\ \Theta(y)\} \) - непротиворечивое множество формул \( \{\Phi(x),\ \Psi(x, y),\ \exists y\ \Theta(y),\ \exists z\ (\Phi(z)\wedge\Psi(x,y))\} \) - непротиворечивое множество формул \( \{\Phi(x),\ \Psi(x, y),\ \exists y\ \Theta(y),\ \forall u\ \urcorner\Psi(u,y)\wedge\urcorner\Phi(x)\} \) - непротиворечивое множество формул 14. Алгебраические системы Среди перечисленных символов операций и предикатов выберите символы операций: \( \vdots \) \( \sqrt{} \) \( - \) \( + \) \( > \) \( \leqslant \) \( 1 \) 15. Исчисление предикатов Выберите формулы, которые являются теоремами исчисления предикатов: \( \Phi(x,y,z)\to\exists z\ \Phi(z,y,z) \) \( \Phi(x,y,x)\to\exists z\ \Phi(z,y,x) \) \( (\Phi\to\Psi)\to((\Psi\to\Theta)\to((\Phi\to\Psi)\to\Theta)) \) \( y+x=x+y \) \( \forall z\ \Phi(x, z)\vee\Psi(y,z)\to\Phi(x,u)\vee\Psi(y,u) \) \( (\Phi\to\Theta)\to((\Phi\to\Psi)\to(\Phi\to\Psi\wedge\Theta)) \) \( \urcorner\urcorner(\Psi\to\Theta\vee\Phi)\to(\Psi\to\Phi\vee\Theta) \) \( \Phi(x,y,x)\to\exists z\ \Phi(z,y,z) \) 16. Алгебраические системы Пусть \( \Gamma=\{\Phi_1, \ldots, \Phi_7\} \) - множество формул сигнатуры \( \Sigma=\{s^{(1)}, +^{(2)}, \cdot^{(2)}, 0^{(0)}\} \), где\( \Phi_1\leftrightharpoons \forall x\forall y\ ((s(x)=s(y))\to (x=y)) \),\( \Phi_2\leftrightharpoons \forall x\ \urcorner(s(x)=0) \),\( \Phi_3\leftrightharpoons \forall x\ (\urcorner(x=0)\to\exists y\ (x=s(y))) \),\( \Phi_4\leftrightharpoons \forall x\ (x+0=x) \),\( \Phi_5\leftrightharpoons \forall x\forall y\ (x+s(y)=s(x+y)) \),\( \Phi_6\leftrightharpoons \forall x\ (x\cdot0=0) \),\( \Phi_7\leftrightharpoons \forall x\forall y\ (x\cdot s(y)=x\cdot y+x) \).Выберите модели множества \( \Gamma \): \( \langle \omega; \Sigma \rangle \) \( \langle \omega\cup\{a,b\}; \Sigma \rangle \), где \( a,b\notin\omega \) \( \langle \mathbb{Z}; \Sigma \rangle \) \( \langle \omega\cup\{a\}; \Sigma \rangle \), где \( a\notin\omega \) Пожалуйста, поделитесь впечатлениями об изученном курсе матлогики: