Уважаемые студенты! Вам предлагается пройти тест по теме "Логика первого порядка". Результаты теста будут показаны после завершения. Время выполнения заданий - 90 минут, всего 16 вопросов. Максимум за тест можно получить 50 первичных баллов. Перевод во вторичные баллы будет осуществлён после прохождения теста всеми студентами. Успехов! Фамилия Имя Группа Адрес электронной почты 1. Алгебраические системы Пусть \( \Sigma=\{+^{(2)}, \cdot^{(2)}, -^{(2)}, 0^{(0)}, \leqslant^{(2)}\} \). Выберите числовые множества, которые могут служить носителем алгебраической системы сигнатуры \( \Sigma \) со стандартными интерпретациями символов \( \Sigma \): \( \mathbb{I} \) \( 2\mathbb{Z} \) \( \omega \) \( \mathbb{N} \) \( \mathbb{Q} \) \( \mathbb{Z} \) \( \mathbb{I}\cup\{0\} \) 2. Логическое следствие Пусть \( \Sigma=\{+^{(2)}, \cdot^{(2)}, \leqslant^{(2)}\} \). Выберите верные утверждения: \( x\cdot y+z=x\cdot y \), \( z+y=x\cdot z \), \( (x\cdot y+z)\cdot y\leqslant z+y \) \( \vDash \) \( (x\cdot y)\cdot y\leqslant x\cdot z \) \( x\cdot y=z+x \), \( \forall z\ (z+x=x+y\cdot z) \) \( \vDash \) \( \exists y\ (x+y\cdot z=x\cdot y) \) \( x+y=z\ \vDash\ \exists z\ (z=x+y) \) \( x+y=z\cdot x \), \( y\cdot (x+z)=x\cdot x \) \( \vDash \) \( (x+y)\cdot (x\cdot x)=(z\cdot x)\cdot (y\cdot (x+z)) \) 3. Термы и формулы Пусть \( \Sigma=\{+^{(2)}, \cdot^{(2)}, -^{(2)}, 0^{(0)}, \leqslant^{(2)}\} \), \( t(x,y,z)\leftrightharpoons (((x+y)\cdot x)-(y+(z-x)\cdot 0))\cdot z \), \( \mathfrak{A}=\langle \mathbb{Z}; \Sigma \rangle \). Найдите \( t^{\mathfrak{A}}(-4, 3, 5) \): 4. Исчисление предикатов Известно, что \( \vdash\ \forall x\exists z\forall y\ \Phi(x, y, z, u) \), где \( \Phi \) - формула сигнатуры \( \Sigma \). Выберите верные утверждения: \( \vdash\ \exists z\forall x\ \Phi(w, x, z, u) \) \( \vdash\ \forall w\exists x\ \urcorner\Phi(u, x, w, v) \) \( \vdash\ \forall u\exists x\forall y\ \Phi(u, y, x, z) \) \( \vdash\ \exists u\forall x\exists z\forall y\ \Phi(x, y, z, u) \) \( \vdash\ \forall u\forall x\exists z\forall y\ \Phi(x, y, z, u) \) 5. Алгебраические системы Пусть \( \Gamma=\{\Phi_1, \ldots, \Phi_7\} \) - множество формул сигнатуры \( \Sigma=\{s^{(1)}, +^{(2)}, \cdot^{(2)}, 0^{(0)}\} \), где\( \Phi_1\leftrightharpoons \forall x\forall y\ ((s(x)=s(y))\to (x=y)) \),\( \Phi_2\leftrightharpoons \forall x\ \urcorner(s(x)=0) \),\( \Phi_3\leftrightharpoons \forall x\ (\urcorner(x=0)\to\exists y\ (x=s(y))) \),\( \Phi_4\leftrightharpoons \forall x\ (x+0=x) \),\( \Phi_5\leftrightharpoons \forall x\forall y\ (x+s(y)=s(x+y)) \),\( \Phi_6\leftrightharpoons \forall x\ (x\cdot0=0) \),\( \Phi_7\leftrightharpoons \forall x\forall y\ (x\cdot s(y)=x\cdot y+x) \).Выберите модели множества \( \Gamma \): \( \langle \omega\cup\{a\}; \Sigma \rangle \), где \( a\notin\omega \) \( \langle \omega\cup\{a,b\}; \Sigma \rangle \), где \( a,b\notin\omega \) \( \langle \omega; \Sigma \rangle \) \( \langle \mathbb{Z}; \Sigma \rangle \) 6. Термы и формулы Пусть \( \Sigma=\{+^{(2)}, \cdot^{(2)}, -^{(2)}, 0^{(0)}, \leqslant^{(2)}\} \), \( \Phi(x,y)\leftrightharpoons \exists z\ ((x+z=y)\wedge\urcorner (z\leqslant0)) \), \( \mathfrak{A}=\langle \mathbb{Z}; \Sigma \rangle \). Выберите верные утверждения: \( \mathfrak{A}\vDash\Phi(-2,0) \) \( \mathfrak{A}\vDash\Phi(3,5) \) \( \mathfrak{A}\vDash\Phi(3,8)\to\Phi(1,0) \) \( \mathfrak{A}\vDash\Phi(1, 2, 4) \) \( \mathfrak{A}\vDash\Phi(4,2) \) \( \mathfrak{A}\vDash\urcorner\Phi(7,4) \) \( \mathfrak{A}\vDash\Phi(-1,-1) \) \( \mathfrak{A}\vDash\Phi(2,-1)\to\Phi(4,2) \) 7. Равносильные формулы Выберите формулы сигнатуры \( \Sigma=\{\leqslant^{(2)}, +^{(2)}\} \), равносильные формуле \( \forall x\ (\exists y\ (x\leqslant y)\to\urcorner(z\leqslant x))\wedge\urcorner(y=z) \): \( \forall x\ \urcorner (\exists y\ (x\leqslant y)\wedge(z\leqslant x)\wedge(y=z)) \) \( \forall x\ ((\urcorner \exists y\ (x\leqslant y)\vee\urcorner(z\leqslant x))\wedge\urcorner(y=z)) \) \( \forall x\ \urcorner(\urcorner(y=z)\to\exists y\ (x\leqslant y)\wedge(z\leqslant y)) \) \( \forall x\exists y\ ((x\leqslant y)\to\urcorner(z\leqslant x))\wedge\urcorner(y=z) \) \( \forall x\ (\forall y\ \urcorner(x\leqslant y)\vee(z>x))\wedge\urcorner(y=z) \) 8. Термы и формулы Пусть \( \Sigma=\{+^{(2)}, \cdot^{(2)}, -^{(2)}, 0^{(0)}, \leqslant^{(2)}\} \). Выберите все атомарные формулы сигнатуры \( \Sigma \): \( \urcorner (x+0\leqslant z\cdot y) \) \( x+y\leqslant z-u \) \( x+y^2\leqslant z \) \( x\cdot0=y+z_1 \) \( \exists x\ (x\leqslant y+z) \) 9. Исчисление предикатов Пусть \( \Gamma=\{\Phi(x),\ \Psi(y),\ \Theta(z)\} \). Выберите верные соотношения: \( \Gamma\ \vdash\ \exists u\ (\Phi(u)\wedge\Psi(u)\wedge\Theta(u)) \) \( \Gamma\ \vdash\ \exists z\ (\Phi(x)\to\Psi(y)\vee\Theta(z)) \) \( \Gamma\ \vdash\ \Phi(z)\wedge\Psi(y)\wedge\Theta(x) \) \( \Gamma\ \vdash\ \Phi(u)\wedge\Psi(u)\wedge\Theta(z) \) \( \Gamma\ \vdash\ \exists x\ (\Phi(x)\vee\Psi(y)\vee\Theta(z)) \) \( \Gamma\ \vdash\ \exists x\ (\Phi(x)\vee\Psi(x)\vee\Theta(x)) \) 10. Алгебраические системы Среди перечисленных символов операций и предикатов выберите символы предикатов: \( \subseteq \) \( \urcorner \) \( \wedge \) \( \geqslant \) \( \cup \) \( 1 \) \( \sqrt[3]{} \) 11. Исчисление предикатов Выберите верные утверждения про определённое на наших занятиях исчисление предикатов (ИП): В ИП есть зависимые аксиомы. ИП независимо. ИП противоречиво. ИП разрешимо. ИП неразрешимо. В ИП есть недоказуемые формулы. Теоремами ИП являются только тождественно истинные формулы. Теоремами ИП являются тождественно истинные формулы. Существует алгоритм проверки формул ИП на доказуемость за конечное количество шагов. ИП непротиворечиво. 12. Термы и формулы Пусть \( \Sigma=\{+^{(2)}, \cdot^{(2)}, -^{(2)}, 0^{(0)}, \leqslant^{(2)}\} \). Выберите все формулы сигнатуры \( \Sigma \): \( (x+y) \wedge (x\leqslant z-u) \) \( x+y\leqslant x\cdot z \) \( \urcorner (x+y=z+1) \) \( \exists z\ (x\leqslant z\cdot z_1) \) \( \forall x\ (x+y\cdot (z+0)) \) \( x\leqslant ((z+y=x)\to\exists y\ (y\leqslant z)) \) 13. Исчисление предикатов Выберите формулы, которые являются теоремами исчисления предикатов: \( \forall z\ \Phi(x, z)\vee\Psi(y,z)\to\Phi(x,u)\vee\Psi(y,u) \) \( \Phi(x,y,x)\to\exists z\ \Phi(z,y,x) \) \( \urcorner\urcorner(\Psi\to\Theta\vee\Phi)\to(\Psi\to\Phi\vee\Theta) \) \( (\Phi\to\Theta)\to((\Phi\to\Psi)\to(\Phi\to\Psi\wedge\Theta)) \) \( y+x=x+y \) \( \Phi(x,y,z)\to\exists z\ \Phi(z,y,z) \) \( (\Phi\to\Psi)\to((\Psi\to\Theta)\to((\Phi\to\Psi)\to\Theta)) \) \( \Phi(x,y,x)\to\exists z\ \Phi(z,y,z) \) 14. Термы и формулы Пусть \( \Sigma=\{+^{(2)}, \cdot^{(2)}, -^{(2)}, 0^{(0)}, \leqslant^{(2)}\} \). Выберите все термы сигнатуры \( \Sigma \): \( x-y\leqslant z \) \( 0-(x+y)^2 \) \( x-y\cdot(z+1) \) \( x+y \) \( (x+y)\cdot z \) \( x+y\cdot x \) 15. Алгебраические системы Среди перечисленных символов операций и предикатов выберите символы операций: \( > \) \( \leqslant \) \( - \) \( \vdots \) \( + \) \( 1 \) \( \sqrt{} \) 16. Исчисление предикатов Пусть \( \{\Phi(x),\ \Psi(x, y),\ \exists y\ \Theta(y)\} \) - непротиворечивое множество формул. Выберите верные утверждения: \( \{\Phi(x),\ \Psi(x, y),\ \exists y\ \Theta(y),\ \forall u\ \urcorner\Psi(u,y)\wedge\urcorner\Phi(x)\} \) - непротиворечивое множество формул \( \{\Phi(x),\ \Psi(x, y),\ \Theta(z)\} \) - непротиворечивое множество формул \( \{\Phi(x),\ \Psi(x, y),\ \exists y\ \Theta(y),\ \forall z\ \urcorner\Phi(z)\vee\exists y\ \Theta(y)\} \) - непротиворечивое множество формул \( \{\Phi(x),\ \Psi(x, y),\ \exists y\ \Theta(y),\ \exists z\ (\Phi(z)\wedge\Psi(x,y))\} \) - непротиворечивое множество формул Пожалуйста, поделитесь впечатлениями об изученном курсе матлогики: