Коллоквиум «Логика первого порядка», 2023 г.

Пусть \( \Sigma=\{+^{(2)}, \cdot^{(2)}, -^{(2)}, 0^{(0)}, \leqslant^{(2)}\} \). Выберите все термы сигнатуры \( \Sigma \):

Выберите формулы сигнатуры \( \Sigma=\{\leqslant^{(2)}, +^{(2)}\} \), равносильные формуле \( \forall x\ (\exists y\ (x\leqslant y)\to\urcorner(z\leqslant x))\wedge\urcorner(y=z) \):

Среди перечисленных символов операций и предикатов выберите символы предикатов:

Пусть \( \Sigma=\{+^{(2)}, \cdot^{(2)}, -^{(2)}, 0^{(0)}, \leqslant^{(2)}\} \). Выберите числовые множества, которые могут служить носителем алгебраической системы сигнатуры \( \Sigma \) со стандартными интерпретациями символов \( \Sigma \):

Пусть \( \Sigma=\{+^{(2)}, \cdot^{(2)}, -^{(2)}, 0^{(0)}, \leqslant^{(2)}\} \). Выберите все атомарные формулы сигнатуры \( \Sigma \):

Пусть \( \Sigma=\{+^{(2)}, \cdot^{(2)}, -^{(2)}, 0^{(0)}, \leqslant^{(2)}\} \), \( t(x,y,z)\leftrightharpoons (((x+y)\cdot x)-(y+(z-x)\cdot 0))\cdot z \), \( \mathfrak{A}=\langle \mathbb{Z}; \Sigma \rangle \). Найдите \( t^{\mathfrak{A}}(-4, 3, 5) \):

Пусть \( \Gamma=\{\Phi_1, \ldots, \Phi_7\} \) - множество формул сигнатуры \( \Sigma=\{s^{(1)}, +^{(2)}, \cdot^{(2)}, 0^{(0)}\} \), где
\( \Phi_1\leftrightharpoons \forall x\forall y\ ((s(x)=s(y))\to (x=y)) \),
\( \Phi_2\leftrightharpoons \forall x\ \urcorner(s(x)=0) \),
\( \Phi_3\leftrightharpoons \forall x\ (\urcorner(x=0)\to\exists y\ (x=s(y))) \),
\( \Phi_4\leftrightharpoons \forall x\ (x+0=x) \),
\( \Phi_5\leftrightharpoons \forall x\forall y\ (x+s(y)=s(x+y)) \),
\( \Phi_6\leftrightharpoons \forall x\ (x\cdot0=0) \),
\( \Phi_7\leftrightharpoons \forall x\forall y\ (x\cdot s(y)=x\cdot y+x) \).
Выберите модели множества \( \Gamma \):

Пусть \( \Sigma=\{+^{(2)}, \cdot^{(2)}, -^{(2)}, 0^{(0)}, \leqslant^{(2)}\} \), \( \Phi(x,y)\leftrightharpoons \exists z\ ((x+z=y)\wedge\urcorner (z\leqslant0)) \), \( \mathfrak{A}=\langle \mathbb{Z}; \Sigma \rangle \). Выберите верные утверждения:

Пусть \( \Sigma=\{+^{(2)}, \cdot^{(2)}, -^{(2)}, 0^{(0)}, \leqslant^{(2)}\} \). Выберите все формулы сигнатуры \( \Sigma \):

Пусть \( \Sigma=\{+^{(2)}, \cdot^{(2)}, \leqslant^{(2)}\} \). Выберите верные утверждения:

Среди перечисленных символов операций и предикатов выберите символы операций: